Question

如图，以△ABC三边为边在BC的同一侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
（1）将△CBA绕着点C旋转，可以与哪一个三角形重合，以及旋转的度数（直接写答案）；
（2）四边形AFED一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED一定是菱形．（ 直接写答案，不必说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形BEC和ACF，推出AC=CF，BC=CE，∠ECB=∠FCA=60°，求出∠ACB=∠FCE，根据SAS证△ABC和△FEC全等即可；
（2）由（1）推出AD=FE，同理求出△ABC≌DBE，推出ED=AF，根据平行四边形的判定推出即可；
（3）根据AB=AC和AB=EF，AC=AF，推出AD=DE=EF=AF，根据菱形的判定即可推出四边形AFED是菱形．

解答：（1）解：△CEF，顺时针60°，
理由是：∵△BEC、△ACF是等边三角形，
∴AC=CF，BC=CE，∠ECB=∠FCA=60°，
∵∠ECB-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
∴∠ACB=∠FCE，
在△ABC和△FEC中

BC=CE ∠ACB=∠FCE CA=CF

，
∴△ABC≌△FEC．
∵∠ACF=60°，
∴将△CBA绕着点C旋转，可以与三角形CEF重合，以及旋转的度数是60°
．
（2）解：四边形AFED是平行四边形，理由是：
∵△ABD、△BCE、△ACF为等边三角形
∴CB=CE，CA=CF，∠BCE=∠ACF=60°，
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE，
即∠BCA=∠ECF，
在△ABC和△FEC中

BC=CE ∠ACB=∠FCE CA=CF

，
∴△ABC≌△FEC，
∴AB=EF，
又∵AB=AD，
∴AD=FE，
同理可证△ABC≌△DBE，ED=FA，
∴四边形AFED是平行四边形．          
              
（3）解：AB=AC，
理由是∵AB=AC，AB=EF，AC=AF，
∴AD=DE=EF=AF，
∴四边形AFED是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，旋转的旋转，全等三角形的旋转和判定，等边三角形的性质，平行四边形的判定等知识点的应用，主要是证△ABC≌△FEC和△ABC≌△DBE，题型较好，是一道综合性比较强的题目．