Question

【题目】AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E在AB的延长线上，∠A＝∠BCE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形OBCD是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）证明∠OCE＝90°问题可解；

（2）由同角的余角相等，可得∠BCO＝∠BOC，再得到△BCO是等边三角形，故∠AOC＝120°，再由垂径定理得到AF＝CF，推出△COD是等边三角形问题可解．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠A+∠BCO＝90°，

∵∠A＝∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO＝90°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：四边形OBCD是菱形，

理由：∵BC＝BE，

∴∠E＝∠ECB，

∵∠BCO+∠BCE＝∠COB+∠E＝90°，

∴∠BCO＝∠BOC，

∴BC＝OB，

∴△BCO是等边三角形，

∴∠AOC＝120°，

∵F是AC的中点，

∴AF＝CF，

∵OA＝OC，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形，

∴CD＝OD＝OB＝BC，

∴四边形OBCD是菱形．