如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC="6." △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的,连结AE,AC和BE相交于点O.
【小题1】(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并证明你的结论;
【小题2】(2)如图2,P是线段BC上一动点(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;
②当线段BP的长为何值时,以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似?
【小题1】(1)四边形ABCE是菱形.
证明:∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,
∴ EC∥AB,EC=AB.
∴ 四边形ABCE是平行四边形.
又∵ AB=BC,
∴四边形ABCE是菱形
【小题2】(2)①四边形PQED的面积不发生变化,理由如下:
由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO,
∴ S△PBO= S△QEO
∵ △ECD是由△ABC平移得到的,
∴ ED∥AC,ED=AC=6.
又∵ BE⊥AC,
∴BE⊥ED
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED
=×BE×ED=×8×6=24. ……………4分
②如图,当点P在BC上运动,使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似.
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3.
∴∠2不与∠3对应 .
∴∠2与∠1对应 .
即∠2=∠1,∴OP=OC="3" .
过O作OG⊥BC于G,则G为PC的中点 .
可证 △OGC∽△BOC .
∴ CG:CO=CO:BC .
即 CG:3=3:5 .
∴ CG= .
∴ PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×= .
∴ BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10.
∴ x=
∴ BP= .
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
PE |
CE |
1 |
2 |
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BC2+CD2 |
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DE |
BD |
1 |
3 |
1 |
3 |
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1 | 2 |
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