Question

10．如图，正方形ABCD和CEFG公共顶点C，点F在CD上，连接DE，连接BG并延长交CD于M，交DE于点H，求证：EM⊥DG，且F为△DHG的内心．

Answer 1

分析 解：连结DG，延长EM交DG于N，如图，由正方形的性质得EF=FG=GC=CE，∠ECF=∠GCF=45°，先证明△DEC≌△DGC得到DE=DG，∠EDC=∠GDC，再证明△CGD≌△CGB得到∠CBG=∠CDG，则根据三角形内角和可证明∠DHM=∠BCG=90°，接着证明△DEM≌△DGM得到∠DEM=∠DGM，于是根据等角的余角相等得到∠MNG=∠MHE=90°，所以EM⊥DG；然后证明△DEF≌△DGF得到∠DEF=∠DGF，由于∠HEF=∠FGH，则∠DGF=∠FGH，最后根据三角形内心的定义可判断F为△DHG的内心．

解答 解：连结DG，延长EM交DG于N，如图，
∵四边形FGCE为正方形，
∴EF=FG=GC=CE，∠ECF=∠GCF=45°，
在△DEC和△DGC中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DC}\\{∠DCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△DGC，
∴DE=DG，∠EDC=∠GDC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠BCG=90°-∠DCG=45°，
在△CGD和△CGB中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CG}\\{∠DCG=∠BCG}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△CGD≌△CGB，
∴∠CBG=∠CDG，
∴∠EDC=∠CBG，
∵∠DMH=∠CMB，
∴∠DHM=∠BCG=90°，
在△DEM和△DGM中
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DM}\\{∠EDM=∠GDM}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△DGM，
∴∠DEM=∠DGM，
而∠EMH=∠GMN，
∴∠MNG=∠MHE=90°，
∴EM⊥DG；
在△DEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DF}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DGF，
∴∠DEF=∠DGF，
∵∠GHE=∠GFE=90°，
∴∠HEF=∠FGH，
∴∠DGF=∠FGH，
而∠HDM=∠GDM，
∴F为△DHG的内心．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．熟练掌握正方形的性质，灵活运用全等三角形的知识解决线段和角度相等的问题．