Question

4．对于一个三边长为p，q，r的三角形，其中p≤q≤r，称函数y=px²-rx+q为这个三角形的“派生函数”，或称这个函数是由这个三角形“派生”出的．
（1）一个三角形的边长为3，4，5，请直接写出这个三角形的派生函数y=3x²-5x+4．
（2）如图1，△ABC中，AB=AC，
①如图1，∠A＞60°，则BC是△ABC的最长边，求证：△ABC的派生函数与x轴没有公共点；
②如图2，∠A＜60°，则BC使△ABC的最短边，若△ABC的派生函数与x轴有公共点，求cosC的范围；
③如图3，∠A=60°，记△ABC的派生函数为C₁．：y=ax²-bx+c．C1的图象顶点为A，与y轴相交于B，直线AB交x轴于点C，C₂是三角形△BOC的派生函数，若C₂，C₁恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围0＜a≤2．

Answer 1

分析 （1）根据根据“派生函数”的定义即可解决问题．
（2）①如图1中，设AB=AC=m，BC=n，由题意△ABC的派生函数为y=mx²-nx+m，只要证明△＜0即可．
②如图2中，作AH⊥BC于H．设AB=AC=m，BC=n，n＜m．由题意△ABC的派生函数为y=nx²-mx+m，由△ABC的派生函数与x轴有公共点，可得△≥0，推出m²-4mn≥0，推出m≥4n，于cosC=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}n}{m}$=$\frac{n}{2m}$，当m=4n时，cosC=$\frac{1}{8}$，由此可得0＜cosC≤$\frac{1}{8}$．
③如图3中，首先求出A、B、C坐标，分两种情形确定a的范围即可．

解答 （1）解：根据“派生函数”的定义可知，三角形的边长为3，4，5，
这个三角形的派生函数为y=3x²-5x+4．
故答案为y=3x²-5x+4．

（2）①证明：如图1中，设AB=AC=m，BC=n，

∵∠A=60°，
∴m=m＜n，2m＞n，
∴△ABC的派生函数为y=mx²-nx+m，
∵△=n²-4m²=（n+2m）（n-2m），
∵n+2m＞0，n-2m＜0，
∴△＜0，
∴△ABC的派生函数与x轴没有公共点．

②解：如图2中，作AH⊥BC于H．设AB=AC=m，BC=n，n＜m．

∴△ABC的派生函数为y=nx²-mx+m，
∵△ABC的派生函数与x轴有公共点，
∴△≥0，
∴m²-4mn≥0，
∵m＞0，
∴m≥4n，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$n，
∴cosC=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}n}{m}$=$\frac{n}{2m}$，
当m=4n时，cosC=$\frac{1}{8}$，
∴0＜cosC≤$\frac{1}{8}$．

③如图3中，

∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴△ABC的派生函数C₁为y=ax²-ax+a，
∴点B（0，a），顶点A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$a），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$ax+a，
∴点C（2，0），
∴OB=a，OC=2，BC=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
a、当0＜a≤2时，△BOC的派生函数C₂为y=ax²-$\sqrt{{a}^{2}+4}$x+2，
易知函数C₁与C₂恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围，
b、当a＞2时，△BOC的派生函数C₂为y=2x²-$\sqrt{{a}^{2}+4}$x-a，
易知函数C₁与C₂有两个交点，不符合题意，
∴当C₁与C₂恰有一个公共点时a的取值范围：0＜a≤2．
故答案为0＜a≤2．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、派生函数的定义，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，灵活运用根的判别式解决问题，属于中考压轴题．