Question

1．在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD；
（2）若sinC=$\frac{12}{13}$，AD=24，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由于tanB=cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC=BD；
（2）设AD=12k，AC=13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．

解答 （1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB=$\frac{AD}{BD}$，cos∠DAC=$\frac{AD}{AC}$，
又∵tanB=cos∠DAC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC=BD．

（2）解：在Rt△ADC中，sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{12}{13}$，
则AC=26，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=10，
∵BC=BD+CD，又AC=BD=26，
∴BC=26+10=36．

点评 此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，也考查逻辑推理能力和运算能力．