Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解:解：平分

理由：延长NO到D

∵∠MON=90° ∴∠MOD=90°

∴∠MOB＋∠NOB=90° ∠MOC＋∠COD=90°

∵∠MOB=∠MOC ∴∠NOB=∠COD

∵∠NOB=∠AOD

∴ ∠COD=∠AOD
∴直线NO平分∠AOC

（2）解:t=59或14
（3）解:∠AOM－∠NOC=220

理由：∵∠AOM=90°－∠AON ∠NOC=68°－∠AON

∴∠AOM－∠NOC

=（90°－∠AON）－（68°－∠AON）

=22°

【解析】（1）利用平分线定义和等角的余角相等可证出结论;（2）须分类讨论，ON在∠AOC的内部或外部；（3）∠AOM、∠NOC都用∠AON的式子表示，二者再相减，可得出结果.
【考点精析】关于本题考查的角的平分线和余角和补角的特征，需要了解从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关才能得出正确答案．