Question

如图，直线AM∥BN，AE、BE分别平分∠MAB、∠NBA．
（1）∠AEB的度数为______；
（2）请证明（1）中你所给出的结论；
（3）过点E任作一线段CD，使CD交直线AM于点D，交直线BN于点C，线段AD、BC、AB三者间有何等量关系？试证明你的结论．

Answer 1

（1）解：90°；

（2）证明：如图，
∵AE、BE分别平分∠NBA、∠MAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∠1+∠1+∠3+∠3=180°，
∴2（∠1+∠3）=180°，
∠1+∠3=90°，
从而∠AEB=180°-（∠1+∠3）=90°；

（3）解：①当点D在射线AM的反向延长线上、点C在射线BN上时（如图），
线段AD、BC、AB三者间的关系为：
BC=AB+AD．
证法一：延长AE交BN于点F．
∵AM∥BN，
∴∠4=∠AFB，
又∠3=∠4，
∴∠AFB=∠3，
∴BF=BA（等角对等边），
即△BAF为等腰三角形．
由（1）∠AEB=90°知BE⊥AF，
即BE为等腰△BAF底边AF上的高，
由“三线合一”定理，得AE=EF．
由AM∥BN得∠ADE=∠FCE，
又∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
BC=BF+FC及BF=AB、FC=AD
得BC=AB+AD
（特殊情况：点D与A点重合时，C点即是上图的F点，
AD=0，BC=BF，由上述证明过程知，仍有BC=AB+AD）；
②当点D在射线AM上，点C在射线BN上时（如图），
线段AD、BC、AB三者间的关系为：AB=AD+BC．
证明如下：
由①的证明可知，若延长AE交BN于点F，则AE=EF，
即E为AF的中点，易证△AED≌△FEC，
∴AD=CF，
由①知，△ABF为等腰三角形，AB=BF=BC+CF，
即AB=AD+BC；

③当点D在射线AM上，点C在射线BN的反向延长线上时（如图），
线段AD、BC、AB三者间的关系为：
AD=AB+BC．
证明如下：延长BE交AM于点F，
∵AM∥BN，
∴∠2=∠AFB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠AFB，
∴AF=AB．
∵∠AEB=90°，即AE为等腰△ABF底边BF上的高，
∴BE=FE（“三线合一”定理），易证△EBC≌△EFD，
∴BC=FD．
从而AD=AF+FD=AB+BC．
（特殊情况：当点C与点B重合时，由上述证明过程知，上式也成立）
分析：（1）应先判断出和∠E组成的三角形的其余两个角的度数之和，再根据三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数；
（2）根据平行得到同旁内角的关系，以及角平分线的定义推出和∠E组成的三角形的其余两个角的度数之和；
（3）应从点D和点C的不同位置入手，分情况进行讨论．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；本题需注意多种情况的分析，利用全等来得到各线段之间的等量关系．