Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是菱形．且A，B两点的坐标分别为（0，3），（-4，0）．
（1）求经过点C的反比例函数的解析式；
（2）点P是（1）中所求函数图象上的一点，以P、A、O为顶点的三角形面积与△COD的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式；
（2）设出点P的坐标，易得△COD的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，就求得了点P的坐标．

解答 解：（1）由题意知，OA=3，OB=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=5．
∵四边形ABCO是菱形，
∴BC=AB=5，
∴C（-4，-5）．
设经过点C的反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$．
代入后得k=20，
∴经过点C的反比例函数的解析式为$y=\frac{20}{x}$．

（2）设P（x，y）
∵AD=AB=5，OA=3，
∴OD=2，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
又∵S_△POA=$\frac{1}{2}$OA•|x|=4，
∴|x|=$\frac{8}{3}$，
∴x=±$\frac{8}{3}$．
当x=$\frac{8}{3}$时，y=$\frac{15}{2}$；x=-$\frac{8}{3}$时，y=-$\frac{15}{2}$．
∴P（$\frac{8}{3}$，$\frac{15}{2}$）或（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{15}{2}$）．

点评 此题主要考查了反比例函数及菱形的性质；注意根据菱形的性质得到点C的坐标；点P的横坐标的两种情况．