Question

17．如图1，把两个全等的三角板ABC、EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角边FG经过三角板ABC的直角顶点C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF均为4．现将三角板EFG由图1所示的位置绕G点沿逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，EG交AC于点K，GF交BC于点H．在旋转过程中，请你解决以下问题：

（1）求证：△CGH∽△AGK；
（2）连接HK，求证：KH∥EF；
（3）设AK=x，△CKH的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证明△AGK∽△CGH即可；
（2）连接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH=$\frac{GH}{GK}$，所以∠GKH=60°，再根据三角形的内角和证明，∠E=∠EGF-∠F=90°-30°=60°，即可证得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等两线平行即可证明KH∥EF；
（3）设AK=x，存在x=1，使△CKH的面积最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH=$\sqrt{3}$AK=$\sqrt{3}$x，根据三角形的面积公式表示出S_△CHK=$\frac{1}{2}$CK•CH=$\frac{1}{2}$（2-x）•$\sqrt{3}$x，再把二次函数的解析式化为顶点式即可求出x的值．

解答 （1）证明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B=30°，
∴∠GCH=∠GAK=60°，
又∠CGH=∠AGK=α，
∴△CGH∽△AGK；
（2）证明：由（1）得△CGH∽△AGK，
∴$\frac{GH}{GK}=\frac{CG}{AG}$；
在Rt△ACG中，tanA=$\frac{CG}{AG}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{GH}{GK}=\sqrt{3}$．
在Rt△KHG中，tan∠GKH=$\frac{GH}{GK}=\sqrt{3}$，
∴∠GKH=60°．
∵Rt△EFG中，∠F=30°，
∴∠E=60°，
∴∠GKH=∠E，
∴KH∥EF；
（3）解：由（1）得△CGH∽△AGK，
∴$\frac{CH}{AK}=\frac{CG}{AG}$
由（2）知$\frac{CG}{AG}=\sqrt{3}$，
∴$\frac{CH}{AK}=\sqrt{3}$．
∴CH=$\sqrt{3}$AK=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴CK=AC-AK=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$CK•CH=$\frac{1}{2}$（2-x）$•\sqrt{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x，
又y═-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+$\sqrt{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（0＜x＜2）
∴当x=1时，y有最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质、平行线的判定和性质、三角形的面积公式、二次函数的最值问题，题目的综合性很强，难度中等．