Question

如图所示，已知：在⊙O中，BC=4

3

，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，∠C=30°．
（1）求图中扇形OAB的面积；
（2）若用扇形OAB围成一个圆锥侧面，求这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

分析：（1）过点O作OF⊥BC于F，求得BC的长后再求得BF的长，由勾股定理求得OB的长后即可求面积；
（2）利用扇形的面积公式计算其底面半径即可．

解答：解：（1）在⊙O中，∵∠C=30°，
∴∠BOD=2∠C=60°，
∵直径CD⊥弦AB，
∴

AD

=

BD

，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°，（2分）
过点O作OF⊥BC于F．
∵BC=4

3

，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
设FO的长为x，则OB=2x，
在Rt△BOF中，由勾股定理得：
4x²-x²=（2

3

）²，
解得x=2，
∴OB=2x=4，（4分）
∴S_扇形OAB=（120π×4^2_）÷360=

16

3

π，
或S_扇形OAB=（240π×4²）÷360=

32

3

π；（5分）

（2）设圆锥的底面半径为r，
则4πr=

16

3

π或4πr=

32

3

π，
r=

4

3

或r=

8

3

，（9分）
答：（1）图中扇形OAB的面积为

16

3

π或

32

3

π；
（2）所求圆锥的底面半径为r=

4

3

或r=

8

3

．（10分）

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的侧面展开扇形及弧长之间的关系．