Question

如图1，直线与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线解析式与二次函数解析式组成方程组，求得点A，B的坐标，从而求得AB的长．
（2）由点A，B求得圆的圆心设为点O，由AB的长度求得圆半径而得到圆方程，代入x=m求判别式≥0即可．
（3）由抛物线平移后为：，其对称轴是x=2．由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，求得圆的面积和n的值．
解答：解：由题意：，
解得：x²+3x-4=0，
即x=-4或x=1．
代入求得y=-4或-，
或，
即点A（-4，-4）B（1，-），
则AB=；

（2）由（1）可得A，B中点即圆的圆心点O为（-，-），
半径为AB=，
∵以AB为直径的圆与x=m②有公共点，
∴--≤m≤-+，
即-≤m≤；

（3）抛物线平移后为：．
存在．
理由如下：抛物线平移后为：，其对称轴是x=2．
由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，
其面积为4π，n的值0.75．
点评：本题考查了二次方程的综合运用，运用直线和二次函数方程求得交点坐标，以及通过求二次方程的判别式是否≥0，来判定其是否有解．以及考查抛物线的移动问题．