Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得。
∴抛物线的函数表达式为：。
（2）（i）∵A（0，﹣1），C（4，3），∴直线AC的解析式为：y=x﹣1。
设平移前抛物线的顶点为P₀，则由（1）可得P₀的坐标为（2，1），且P₀在直线AC上。
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1）。
则平移后抛物线的函数表达式为：。
解方程组：，解得，。
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）。
过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2，
∴PQ==AP₀。
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长），
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=。
如答图1，过点B作直线l₁∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。
∴可设直线l₁的解析式为：y=x+b₁。
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b₁，解得b₁=﹣5。∴直线l₁的解析式为：y=x﹣5。
解方程组，得：，。
∴M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7）。

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图1，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）。
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P₀（2，1）可知：
△AFP₀为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为。
过点F作直线l₂∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。
∴可设直线l₂的解析式为：y=x+b₂，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b₂，解得b₁=﹣3。∴直线l₂的解析式为：y=x﹣3。
解方程组，得：，。
∴M₃（，），M₄（，）。
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M₁（4，﹣1），M₂（﹣2，﹣7），M₃（，），M₄（，）。
（ii）存在最大值。理由如下：
由（i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值。
如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q。

连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形。
∴NP=FQ。
∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′。
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为。
∴的最大值为。

（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）（i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础。
若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点。
②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为．此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．
（ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值。如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由解析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度。