【题目】(2017浙江省台州市)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根.比如对于方程,操作步骤是:
第一步:根据方程的系数特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2);
第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B;
第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图1);
第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根.
(1)在图2中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹);
(2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根;
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法找到一元二次方程 (a≠0,≥0)的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标;
(4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一对固定点?
【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)A(0,1),B(﹣,)或A(0,),B(﹣,c)等;(4),=.
【解析】试题(1)根据“第四步”的操作方法作出点D即可;
(2)过点B作BD⊥x轴于点D,根据△AOC∽△CDB,可得,进而得出,即,据此可得m是方程的实数根;
(3)方程(a≠0)可化为,模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标;
(4)先设方程的根为x,根据三角形相似可得,进而得到,再根据,可得,最后比较系数可得m1,n1,m2,n2与a,b,c之间的关系.
试题解析:(1)如图所示,点D即为所求;
(2)如图所示,过点B作BD⊥x轴于点D,根据∠AOC=∠CDB=90°,∠ACO=∠CBD,可得△AOC∽△CDB,∴,∴,∴m(5﹣m)=2,∴,∴m是方程的实数根;
(3)方程(a≠0)可化为,模仿研究小组作法可得:A(0,1),B(﹣,)或A(0,),B(﹣,c)等;
(4)如图,P(m1,n1),Q(m2,n2),设方程的根为x,根据三角形相似可得,上式可化为,又∵,即,∴比较系数可得,=.
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【题目】将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片和.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
(1)当旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是 .
(2)当继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)在图③中,连接BO,AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系,并证明.
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【题目】如图,要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时照明效果最佳,若CD=米,则路灯的灯柱BC高度应该设计为____米(计算结果保留根号).
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【题目】某校的一个数学兴趣小组在本校学生中开展主题为“环广西公路自行车世界巡回赛”的专题调查活动,取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级,分别记作A、B、C、D;并根据调查结果绘制成如图所示不完整的统计图,请结合图中信息解答下列问题:
(1)请求出本次被调查的学生共多少人,并将条形统计图补充完整.
(2)估计该校1500名学生中“C等级”的学生有多少人?
(3)在“B等级”的学生中,初三学生共有4人,其中1男3女,在这4个人中,随机选出2人进行采访,则所选两位同学中有男同学的概率是多少?请用列表法或树状图的方法求解.
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【题目】二次函数(a<0)图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,与y轴交于点C,下面四个结论:
①16a﹣4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③a=﹣c;④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣.其中正确的有______(请将结论正确的序号全部填上)
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【题目】已知:如图,直线的函数解析式为,与轴交于点,与轴交于点.
(1)直接写出点的坐标________;点的坐标________;
(2)若点为线段上的一个动点,作轴于点,轴于点,连接,问:①若的面积为,求关于的函数关系式;②直接写出的最小值________;
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【题目】
如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在CD、BC上,且BF=CE,连接BE、AF相交于点G,则下列结论不正确的是( )
A.BE=AF B.∠DAF=∠BEC C.∠AFB+∠BEC=90° D.AG⊥BE
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【题目】如图,已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),对于下列结论:①2a+b=0;②abc<0;③a+b+c>0;④当x>1时,y随x的增大而减小;其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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