Question

（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点A的坐标为　 　，直线l的解析式为　 　；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

Answer 1

解：（1）（﹣4，0）；y=x+4。
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如图1，

过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5。
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•=3t。
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=PM•PE=×2t×（14﹣5t）=﹣5t²+14t。
②当1＜t≤2时，如图2，

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t。
S=PM•PE=×2t×（16﹣7t）=﹣7t²+16t。
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=。
当2＜t＜时，如图3，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=PM•MQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32。
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为。
（3）①当0＜t≤1时，，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大。
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9。
②当1＜t≤2时，，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，
∴当t=时，S有最大值，最大值为。
③当2＜t＜时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小。
又∵当t=2时，S=4；当t=时，S=0，∴0＜S＜4。
综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为。
（4）t=或t=时，△QMN为等腰三角形。

（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：
∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）。
∵sin∠DAB=，∴∠DAB=45°。∴OA=OD=4。∴A（﹣4，0）。
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有，解得：。∴y=x+4。
∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4。
（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜时，如图3。
（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值。
（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：
①如图4，点M在线段CD上，

MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4，
由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=。
②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，

此时△QMN为等腰三角形，t=。
∴当t=或t=时，△QMN为等腰三角形。