Question

【题目】（本小题满分8分）如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．

（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；

（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCD为菱形，证明过程见解析；（2）S四边形ABCD=72．

【解析】

试题分析：（1）连接AC，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；

（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

试题解析：

解：（1）四边形ABCD为菱形．

理由如下：如图，连接AC交BD于点O，

∵四边形AECF是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF ．

又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，

∴BE=FD，

∴BO=OD ．

∵AO=OC，

∴四边形ABCD为平行四边形 ．

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD为菱形；

（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5 ．

∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×8=4．

由勾股定理得，AO===3，

∴AC=2AO=2×3=6 ．

∴S四边形ABCD=BDAC=×24×6=72．