Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB'C'（点B，C的对应点分别为点B′，C′），延长C′B′分别交AC，BC于点D，E，若DE＝2，则AD的长为_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

过点E作EF⊥AC于点F，设AB＝x，BC＝2x，由旋转的性质可得AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，由“HL”可得Rt△ABE≌Rt△AB'E，可得∠BAE＝∠B'AE＝30°，可求BE＝x，由锐角三角函数可得EF＝，通过证明△EDF∽△ADB'，可得AD的长．

解：过点E作EF⊥AC于点F，连接AE，

∵∠ABC＝90°，

∴

设AB＝x，BC＝2x，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB'C'

∴AB＝AB'＝x，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，

∵AB＝AB'，AE＝AE

∴Rt△ABE≌Rt△AB'E（HL）

∴∠BAE＝∠B'AE＝30°，且∠B＝90°，

∴BA＝BE＝x，

∴BE＝x，

∴EC＝x，

∵ ，且EC＝x，

∴EF＝

∵∠AB'D＝∠EFD＝90°，∠EDF＝∠ADB'，

∴△EDF∽△ADB'

∴

∴

∴AD＝

故答案为：