综合与实践问题情境在综合与实践课上.老师让同学们以“菱形纸片的剪拼为主题开展数学活动.如图1.将一张菱形纸片ABCD沿对角线AC剪开.得到△ABC和△ACD．操作发现(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心.按逆时针方向旋转角α.使α=∠BAC.得到如图2所示的△AC′D.分别延长BC和DC′交于点E.则四边形ACEC′的形状是菱形,(2)创新小组将图1中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．
操作发现
（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；
（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；
实践探究
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

分析（1）利用旋转的性质结合菱形的性质得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，进而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）利用旋转的性质结合菱形的性质得出，四边形BCC′D是平行四边形，进而得出四边形BCC′D是矩形；
（3）首先求出CC′的长，分别利用①点C″在边C′C上，②点C″在C′C的延长线上，求出a的值；
（4）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．

解答解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
故AC′∥EC，AC∥C′E，
则四边形ACEC′是平行四边形，
故四边形ACEC′的形状是菱形；
故答案为：菱形；

（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，
由旋转得：AC′=AC，
则∠CAE=∠C′AE=$\frac{1}{2}$α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，
∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D是平行四边形，
∵∠BCC′=90°，
∴四边形BCC′D是矩形；

（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∵BA=BC，
∴CF=AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△BCF中，BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{CE}{12}$=$\frac{10}{13}$，
解得：EC=$\frac{120}{13}$，
∵AC=AC′，AE⊥CC′，
∴CC′=2CE=2×$\frac{120}{13}$=$\frac{240}{13}$，
当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：
①点C″在边C′C上，a=C′C-13=$\frac{240}{13}$-13=$\frac{71}{13}$，
②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=$\frac{240}{13}$+13=$\frac{409}{13}$，
综上所述：a的值为：$\frac{71}{13}$或$\frac{409}{13}$；

（4）答案不唯一，
例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为$\frac{1}{2}$AC的长度，
得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，
结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，
∴四边形A′BCD′是平行四边形．

点评此题主要考查了几何变换综合以及相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定方法等知识，正确利用相似三角形的判定与性质得出CC′的长是解题关键．

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