Question

如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．
（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．
（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．

Answer 1

解：（1）猜测BE和直线AC垂直．
证明：∵△AEC是等边三角形，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵BE=BE，
∴△AEB≌△CEB（SSS）．
∴∠AEB=∠CEB，
∵AE=CE，
∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等边三角形，
∴∠EAC=∠AEC=60°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠AEC=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAE=15°，
∴∠EBF=45°，
∵EF⊥BF，
∴∠F=90°，
∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，
∴△BEF∽△ACB，
延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a-a，
∴相似比是：===
分析：（1）由等边三角形△AEC与正方形ABCD，利用SSS，易证：△AEB≌△CEB，再根据等腰三角形的三线合一性质，即可证得：BE⊥AC；
（2）根据题意易得∠EBF的度数为45°，则易证△BEF∽△ABC，又由相似三角形的对应边成比例，则可求得相似比．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及等边三角形的性质等知识．题目图形较复杂，解题时要注意数形结合思想的应用．