Question

【题目】如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a＜0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．

(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；

(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，如图②Q(m，0)是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)E(，0)，A(﹣1，0)；(2)y=；(3)存在，点Q坐标为(，0)或( ，0)

【解析】

（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y＝0，解方程即可求出点A坐标．

（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC＝，列出方程即可解决．

（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．

解：(1)∵对称轴x=，

∴点E坐标(，0)，

令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，

∴x=﹣1或4，

∴点A坐标(﹣1，0)．

故答案分别为(，0)，(﹣1，0)．

(2)如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，

∴DB=，

∵tan∠OBC=，

∴，解得a=，

∴抛物线解析式为y=．

(3)如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，

∵MN∥OM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴MN=CM，

∵点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)，

∴ 直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，

∴M(m，﹣m+3)，N(m，﹣m2+m+3)，作MF⊥OC于F，

∵sin∠BCO=，

∴，

∴CM=m，

①当N在直线BC上方时，﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m，

解得：m=或0(舍弃)，

∴Q1(，0)．

②当N在直线BC下方时，(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m，

解得m=或0(舍弃)，

∴Q2(，0)，

综上所述：点Q坐标为(，0)或( ，0)．