Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，点A绕点O按顺时针方向旋转到A′，旋转角为α（0°＜α＜∠AOD），连接A′C．

（1）如图①，则△AA′C的形状是　 　；

（2）如图②，当∠α=60°，求A′C长度；

（3）如图③，当∠α=∠AOB时，求证：A′D∥AC．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意易得：A′O=AO=BO，由此可得∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，结合三角形内角和为180°即可得到∠AA′C=90°，从而可得△A′AC是直角三角形；

（2）由已知条件易得：AC=，则由矩形的性质可得OA=OA′=，结合∠α=60°，

可得△AA′O是等边三角形，从而可得∠OAA′=60°，结合∠AA′C=90°，可得A′C=sin∠OAA′×AC=；

（3）由题意易得OD=OA=OA′，由此可得∠OA′D=∠ODA′，则可得∠OA′D= (180°-∠DOA′)；由∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°可得∠α= (180°-∠∠DOA′)；由此即可得到∠α=∠OA′D，从而可得A′D∥AC．

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，

∵OA=OA′，

∴OA′=OC，

∴∠OAA′=∠OA′A，∠OA′C=∠OCA′，

∴∠OA′C+∠OA′A=∠OCA′+∠OAA′，

∴∠CA′A=90°，

∴△AA′C是直角三角形，

故答案为：直角三角形；

（2）∵AB=1，BC=2，

∴AC，

∴OA=OA′=，

∵∠α=60°，

∴△AA′O是等边三角形，

∴∠OAA′=60°，

∴A′C=AC=；

（3）∵∠α=∠AOB，∠α+∠AOB+∠DOA′=180°，

∴∠α= (180°-∠∠DOA′)，

∵四边形ABCD是矩形，OA′是由OA绕点O旋转得到的，

∴OD=OA=OA′，

∴∠OA′D=∠ODA′，

∴∠OA′D= (180°-∠DOA′)，

∴∠α=∠OA′D，

∴A′D∥AC．