分析:(1)A、B两点的纵坐标都为0,所以代入y=0,求解即可.
(2)由圆和抛物线性质易得圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,则Q的横坐标为
,可推出D、E两点的坐标分别为:(
-m,m),(
+m,m).因为D、E都在抛物线上,代入一点即可得m.
(3)使得△ACF是等腰直角三角形,重点的需要明白有几种情形,分别以三边为等腰三角形的两腰或者底,则共有3种情形;而三种情形中F点在AC的左下或右上方又各存在2种情形,故共有6种情形.求解时.利用全等三角形知识易得m的值.
解答:解:(1)当y=0时,有
-x2+x+2=0,
解得:x
1=4,x
2=-1,
∴A、B两点的坐标分别为(4,0)和(-1,0).
(2)∵⊙Q与x轴相切,且与
y=-x2+x+2交于D、E两点,
∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处,
∵抛物线的对称轴为
x=-=,⊙Q的半径为H点的纵坐标m(m>0),
∴D、E两点的坐标分别为:(
-m,m),(
+m,m)
∵E点在二次函数
y=-x2+x+2的图象上,
∴
m=-×(+m)2+×(+m)+2,
解得
m=-1或
m=--1(不合题意,舍去).
(3)存在.
①如图1,
当∠ACF=90°,AC=FC时,过点F作FG⊥y轴于G,
∴∠AOC=∠CGF=90°,
∵∠ACO+∠FCG=90°,∠GFC+∠FCG=90°,
∴∠ACO=∠CFG,
∴△ACO≌△CFG,
∴CG=AO=4,
∵CO=2,
∴m=OG=2+4=6;
反向延长FC,使得CF=CF′,此时△ACF′亦为等腰直角三角形,
易得y
C-y
F′=CG=4,
∴m=CO-4=2-4=-2.
②如图2,
当∠CAF=90°,AC=AF时,过点F作FP⊥x轴于P,
∵∠AOC=∠APF=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠FAP+∠OAC=90°,
∴∠ACO=∠FAP,
∴△ACO≌△∠FAP,
∴FP=AO=4,
∴m=FP=4;
反向延长FA,使得AF=AF′,此时△ACF’亦为等腰直角三角形,
易得y
A-y
F′=FP=4,
∴m=0-4=-4.
③如图3,
当∠AFC=90°,FA=FC时,则F点一定在AC的中垂线上,此时存在两个点分别记为F,F′,
分别过F,F′两点作x轴、y轴的垂线,分别交于E,G,D,H.
∵∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFA=90°,
∴∠DFC=∠EFA,
∵∠CDF=∠AEF,CF=AF,
∴△CDF≌△AEF,
∴CD=AE,DF=EF,
∴四边形OEFD为正方形,
∴OA=OE+AE=OD+AE=OC+CD+AE=OC+2CD,
∴4=2+2•CD,
∴CD=1,
∴m=OC+CD=2+1=3.
∵∠HF′C+∠CGF′=∠CF′G+∠GF′A,
∴∠HF′C=∠GF′A,
∵∠HF′C=∠GF′A,CF′=AF′,
∴△HF′C≌△GF′A,
∴HF′=GF′,CH=AG,
∴四边形OHF′G为正方形,
∴OH=CH-CO=AG-CO=AO-OG-CO=AO-OH-CO=4-OH-2,
∴OH=1,
∴m=-1.
∵y=-
x
2+
x+2=-
(x-
)
2+
,
∴y的最大值为
.
∵直线l与抛物线有两个交点,∴m<
.
∴m可取值为:-4、-2、-1或3.
综上所述,直线l上存在一点F,使得△ACF是等腰直角三角形,m的值为-4、-2、-1或3.