Question

18．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上一个动点，PE⊥AD，PF⊥CD．
（1）当点P在线段AC上运动时，PE+PF的值是一个定值吗？请说明理由．
（2）当点P在线段AC的延长线上运动时，PE与PF的长度满足什么样的关系式？

Answer 1

分析 （1）当P在AC上时，连接DP，根据△ACD的面积=△ADP的面积+△CDP的面积，可得PE+PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高，是定值；
（2）当点P在AC的延长线上时，连接DP，根据△ACD的面积=△ADP的面积-△CDP的面积，可得PE-PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高，是定值．

解答 （1）是定值，证明：连接DP，设△ACE的边AD上的高为h，
∵菱形ABCD，
∴DA=DC，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，
∴△ACD的面积=△ADP的面积+△CDP的面积=$\frac{1}{2}$AD•PE+$\frac{1}{2}$CD•PF=$\frac{1}{2}$AD（PE+PF），
∵△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•h，
∴$\frac{1}{2}$AD（PE+PF）=$\frac{1}{2}$AD•h，
∴PE+PF=h（定值），
即PE+PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高；

（2）满足PE-PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高，
证明：连接DP，设△ACE的边AD上的高为h，
∵菱形ABCD，
∴DA=DC，
∵PE⊥AD，PF⊥CD，
∴△ACD的面积=△ADP的面积-△CDP的面积=$\frac{1}{2}$AD•PE-$\frac{1}{2}$CD•PF=$\frac{1}{2}$AD（PE-PF），
∵△ACD的面积=$\frac{1}{2}$AD•h，
∴$\frac{1}{2}$AD（PE-PF）=$\frac{1}{2}$AD•h，
∴PE-PF=h（定值），
即PE-PF等于等腰三角形ACD的腰AD上的高．

点评 本题主要考查了菱形的性质，三角形的面积公式，正确画出辅助线和能用割补法求三角形的面积是解决问题的关键．