Question

19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．如图中的一次函数图象与x轴、y轴分别相交于点E，F，则△OEF为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y=$\frac{3}{4}$x+6的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y=$\frac{3}{4}$x+b（b为常数）的坐标三角形的周长为12，求此三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标，再利用勾股定理求出EF的长即可；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标，结合勾股定理可求出EF的长，根据函数y=$\frac{3}{4}$x+b（b为常数）的坐标三角形的周长为12，即可求出|b|的值，代入三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=6，
∴点F的坐标为（0，6），
∴OF=6；
当y=0时，$\frac{3}{4}$x+6=0，
解得：x=-8，
∴点E的坐标为（-8，0），
∴OE=8．
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=10．
（2）当x=0时，y=b，
∴点F的坐标为（0，b），
∴OF=|b|；
当y=0时，$\frac{3}{4}$x+b=0，
解得：x=-$\frac{4}{3}$b，
∴点E的坐标为（-$\frac{4}{3}$b，0），
∴OE=$\frac{4}{3}$|b|．
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=$\frac{5}{3}$|b|．
∵函数y=$\frac{3}{4}$x+b（b为常数）的坐标三角形的周长为12，
∴|b|+$\frac{4}{3}$|b|+$\frac{5}{3}$|b|=4|b|=12，
解得：|b|=3．
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$•OE•OF=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$|b|×|b|=$\frac{2}{3}$b²=6．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点E、F的坐标是解题的关键．