【题目】如图,AC是圆O的直径,AB、AD是圆O的弦,且AB=AD,连接BC、DC.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)延长AB、DC交于点E,若EC=5 cm,BC=3 cm,求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)见解析;(2)四边形ABCD的面积为18 cm2
【解析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角进行证明.
(2)由(1)的结论得到DE、CD长度,再通过∠EAD=∠ECB,∠D=∠EBC=90°,得到△EAD∽△ECB,再通过相似三角形成比例以及勾股定理得到BE、AD的长再进行四边形面积的求解即可.
(1)证明 ∵AC是圆O的直径,
∴∠ABC=∠D=90°,
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC;
(2)解 由(1)知Rt△ABC≌Rt△ADC,
∴CD=BC=3,AD=AB,
∴DE=5+3=8,
∵∠EAD=∠ECB,∠D=∠EBC=90°,
∴△EAD∽△ECB,
∴=,
∵BE==4,
∴=,
∴AD=6,
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2××3×6=18 cm2
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【题目】如图①所示,在△ABC中,点O是AC上一点,过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点, ,求的值;
温馨提示:过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A,C重合),求证: ;
【拓展应用】
(3)如图②所示,点P是△ABC内任意一点,射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,E,F.若, ,求的值.
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【题目】在创建“书香校园”活动中,为了解学生的读书情况,某校抽样调查了部分同学在一周内的阅读时间,绘制如下统计图.根据图中信息,解答下列问题:
(1)被抽查学生阅读时间的中位数为_______h,众数为________h;平均数为________h:
(2)若该校共有800名学生,请你估算该校一周内阅读时间不少于3h的学生人数.
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【题目】《九章算术》中记载了这样一个问题,大意为:有一个善于走路的人和一个不善于走路的人.善于走路的人走100步的同时,不善于走路的人只能走60步.现不善于走路的人先走100步,善于走路的人追他,则要走多少步才能追上(两人步长相等)?设善于走路的人走x步可追上,则可列方程为____________________.
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【题目】如图是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如右图所示的几何图形,若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm,点P为眼睛所在位置,D为AO的中点,连接PD,当PD?AO时,称点P为“最佳视角点”,作PC?BC,垂足C在OB的延长线上,且BC=12cm.
(1)当PA=45cm时,求PC的长;
(2)若?AOC=120°时,“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化?此时PC的长是多少?请通过计算说明.(结果精确到0.1cm,可用科学计算器,参考数据: , )
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【题目】如图,△ABC、△DCE、△HEF、是三个全等的等边三角形,点B、C、E、F在同一条直线上,连接AF,与DC、DE、HE分别相交于点P、M、K,若△DPM的面积为2,则图中三个阴影部分的面积之和为_____.
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【题目】如图,将边长为的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线上由图1的位置按顺时针
方向向右作无滑动滚动,当A1第一次滚动到图2位置时,顶点A1所经过的路径的
长为( ).
A. B. C. D.
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【题目】如图,有长为 24m 的篱笆,现一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽 AB 为 xm,面积为 Sm2.
(1) 求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围;
(2) 要围成面积为 45m2 的花圃,AB 的长是多少米?
(3) 当 AB 的长是多少米时,围成的花圃的面积最大?
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【题目】如图,在半径为1的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出是哪条边,并求其长度;如果不存在,请说明理由.
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