Question

马田同学将一张圆桌紧靠在矩形屋子的一角，与相邻两面墙相切，她把切点记为A、B，然后，她又在桌子边缘上任取一点P（异于A、B），通过计算∠APB的度数，她惊奇的发现∠APB的度数的

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，正好都和她今天作业中的一条抛物线与x轴的交点的横坐标完全相同，她作业中的那条抛物线还经过点C（10，17）．聪明的你：
（1）请你求出∠APB的度数；
（2）请你求出马田同学作业中的那条抛物线的对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，P为异于A、B的圆周上的任意一点，由与点P的位置不能确定，故①当P在 

AmB

上时，如图中的P₁，连接AP₁、BP₁、AO、BO，由矩形的性质及圆周角定理可求出∠AP₁B=45°的度数；
②当P在

AB

上时，如图中的P₂，连接AP₂、BP₂，由圆内接四边形的性质可得出∠AP₂B的度数；
（2）由（1）中所知∠APB=45的度数可得出

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∠APB的值，再设出抛物线的解析式，把C点代入即可得出此解析式，再由抛物线的对称轴方程即可得出结论．

解答：解：（1）设圆桌所在圆的圆心为O，过切点的切线AC、BC交于C，p为异于A、B的圆周上的任意一点．
当P在 

AmB

上时，如图中的P₁，连接AP₁、BP₁、AO、BO，
则OA⊥AC，OB⊥BC，BC⊥AC．
∴四边形ACBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠AP₁B=45°，
当P在 

AB

上时，如图中的P₂，连接AP₂、BP₂，则∠AP₂B=180°-45°=135°；

（2）∵∠APB=45°或135°
∴

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∠APB=9°或27°，
依题意，9、27是所求抛物线与x轴交点的横坐标，故可设所求的
抛物线的解析式为：y=a（x-9）（x-27）（a≠0）…10’
∵抛物线经过点C（10，17）
∴a（10-9）（10-27）=17
解之得：a=-1，
∴y=-（x-9）（x-27）即y=-x²+36x-243，
∴抛物线的对称轴方程为x=-

36

-2

即x=18．

点评：本题考查的是二次函数综合题及切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．