Question

8．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③求出∠CAE=∠BAE=135°，然后利用“边角边”证明△AEC和△AEB全等，判断出③正确；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出∠CDG=∠AFE，根据对顶角相等得到∠CDG=∠CFD，于是得到结论．

解答 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
在△BAD与△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正确；
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正确；
③∵∠CAE=90°+∠CAD=135°，
∠BAE=360°-90°-135°=135°，
∴∠CAE=∠BAE=135°，
在△AEC和△AEB，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAE=∠BAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△AEB（SAS），故③正确；
④∵△CAE≌△BAE，
∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠BEA=90°，
∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，
∴∠ADB+∠GFD=90°，
∴∠CGD=90°，
∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，
∴△CGD∽△EAF，
∴∠CDG=∠AFE，
∵∠CFD=∠AEF，
∴∠CDG=∠CFD，
∵∠GCD=∠GCD，
∴△GCD∽△CDF．故④正确；
故选D．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键．