Question

5．如图，已知Rt△ABC的内切圆⊙I分别切两直角边AC、BC于点D、E，AI、BI分别与直线DE交于点F、G．求证：
（1）BE+AD=AB；
（2）DF²+EG²=FG²；
（3）AB²=2FG²．

Answer 1

分析 （1）直接利用切线长定理求证即可；
（2）先求出∠AIB=135°，再利用等式的性质判断出∠DIG=∠IFE，从而得到△IEF∽△GDI，得出DG×EF=ID²，用线段的和，差代换求出结论；
（3）先判断出A，I，D，G四点共圆，从而得出AI=$\sqrt{2}$IG，再判断出∠ABI=∠IFE，得出△AIB∽△GIF，即：$\frac{AB}{GF}=\frac{AI}{IG}$=$\frac{\sqrt{2}IG}{IG}$=$\sqrt{2}$，即可．

解答 证明：（1）如图，记AB切△ABC的内切圆于H，

∵AB，AC切⊙I于H，D，
∴AH=AD，
∵AB，BC切⊙I于H，E，
∴BH=BE，
∴AB=BH+AH=BE+AD；
（2）如图1，

连接ID，IE，
∵AC，BC切⊙I于D，E，
∴CD=CE，∠IDC=∠IEC=90°，
∴四边形CDIE是正方形，
∴∠DIE=90°，
∵DE是正方形CDIE的对角线，
∴DE=$\sqrt{2}$ID=$\sqrt{2}$IE，∠IED=∠IDE=45°，
∴∠EIF+∠IFE=45°，∠IEF=∠IDG=∠CDE=135°，
∵I是Rt△ABC的内切圆的圆心，
∴AI，BI是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABI+∠BAI=45°，
∴∠AIB=135°，
∴∠FIG=∠AIB=135°，
∵∠DIE=90°，
∴∠DIG+∠EIF=45°
∵∠EIF+∠IFE=45°，
∴∠DIG=∠IFE，
∵∠IEF=∠IDG=135°，
∴△IEF∽△GDI，
∴$\frac{IE}{DG}=\frac{EF}{ID}$，
∴DG×EF=ID×IE=ID²，
∵FG=DF+DG，
∴FG²=（DF+DG）²=DF²+DG²+2DF×DG，
∵EG=DE+DG，
∴EG²=（DE+DG）²=DE²+DG²+2DE×DG，
∴FG²-EG²=DF²+DG²+2DF×DG-（DE²+DG²+2DE×DG）
=DF²+DG²+2DF×DG-DE²-DG²-2DE×DG
=DF²+DG²-DE²-DG²+2DF×DG-2DE×DG
=DF²-DE²+2DG×（DF-DE）
=DF²-DE²+2DG×EF
=DF²-DE²+2ID²，
∵DE=$\sqrt{2}$ID
∴FG²-EG²=DF²，
∴DF²+EG²=FG²；
（3）如图，连接AG，ID，

∵AC是⊙I的切线．
∴∠IDA=90°，
由（2）有，∠AIB=135°，
∴∠AIG=45°，
由（2）有，∠CDE=45°，
∴∠ADG=∠CDE=45°，
∴∠AIG=∠ADG=45°，
∴A，I，D，G四点共圆，（若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
∴∠AGD=∠IDA=90°，
∴AI=$\sqrt{2}$IG，
由（2）有，∠DIG=∠IFE，
∵∠ABI=∠CBI=∠DIG，
∴∠ABI=∠IFE，
∵∠AIB=∠GIF，
∴△AIB∽△GIF，
∴$\frac{AB}{GF}=\frac{AI}{IG}$=$\frac{\sqrt{2}IG}{IG}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$GF，
∴AB²=2FG²．

点评 此题是圆的综合题，考查了四点共圆：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆；若四点连成四边形的对角互补或其中一个外角等于其邻补角的内对角，则这四点共圆．也考查了正方形的判定和性质，相似三角形的性质和判定、三角形内心的性质、切线的性质，解本题的关键是判断△IEF∽△GDI，判断A，I，D，G四点共圆是解本题的难点．是一道难度比较大的试题．