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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，与x轴交于0、M两点，O精英家教网M=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
    （1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
    （2）当矩形ABCD的周长为最大值时，将矩形绕它的中心顺时针方向旋转90°，求点D的坐标；
    （3）连接OP，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，写出点Q到y轴的距离；若不存在，说明理由．
    分析：（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
    （2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法求出x的值，从而得到点A、B、C、D的坐标，再找出矩形ABCD的中心，根据旋转的性质即可确定点D的坐标；
    （3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底．当OP是底时，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，先求出OP的中点E的坐标，设OQ与x轴相交于点E，根据相似三角形对应边成比例求出OE的长度，也就知道了点F的坐标，然后利用待定系数法求出OP的垂直平分线EF的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可求出点Q的横坐标，从而点Q到y的距离可得．
    解答：解：（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
    设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
    过点M（4，0），
    则4a+4=0，
    解得a=-1，
    ∴y=-（x-2）2+4=4x-x2；

    （2）设C（x，0），
    则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．
    矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
    =2[（4-2x）+（4x-x2）]=2（-x2+2x+4）=-2（x-1）2+10，
    当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
    此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
    ∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
    ∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
    ∴点D的坐标为（3.5，2.5）；

    （3）存在．精英家教网
    若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
    如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
    ∵P（2，4），
    ∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
    ∴OE=
    		22+12
    =
    		5
    ，OG=1，
    ∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
    ∴△OEG∽△OFE，
    ∴
    OF
    OE
    =
    OE
    OG
    ，
    即
    OF
    		5
    =
    		5
    1
    ，
    解得OF=5，
    ∴点F的坐标为（5，0），
    设直线EF的解析式为y=kx+b，
    则
    k+b=2
    5k+b=0
    ，
    解得
    k=-
    1
    2
    b=
    5
    2
    ，
    ∴y=-
    1
    2
    x+
    5
    2
    ，
    ∴
    y=-x2+4x
    y=-
    1
    2
    x+
    5
    2
    ，
    解得x=
    9±
    		41
    4
    ，
    ∴点Q到y轴的距离是
    9+
    		41
    4
    或
    9-
    		41
    4
    ．
    点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，是不可多得的好题．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
    的解析式为（　　）

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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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