Question

【题目】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=与y轴交于点A，顶点为B，直线l：y=-x+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若AP+PC的值最小，则点P的坐标为（ ）

A. （3，1）

B. （3，）

C. （3，）

D. （3，）

Answer 1

【答案】B

【解析】

如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小.可求得AP+PC= AP+PE，当A、P、E三点共线时AP+PC最小，故可求得结果.

如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小。

∵抛物线y=

∴A（0，5），A’（6，5）

∵直线l：y=-x+b

∴C（3，1），D（0，1）

∵∠ACP=∠ECP

∴Sin∠ECP=Sin∠ACP=

∴AP+PC=AP+Sin∠ECP·PC=AP+PE

∴当A、P、E三点共线时AP+PC最小

∴∠A’AP=∠ECP=∠ACP

∴PF=AF·tan∠FAP=

∴P（3，）

故选B.