Question

（2013•杭州一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC，点E在对角线BD上，作∠ECF=90°，连接DF，且满足CF=EC．
（1）求证：BD⊥DF．
（2）当BC²=DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用互余关系证明∠BCE=∠DCF，又有BC=DC，EC=CF，可证△BCE≌△DCF，得出∠EBC=∠FDC，由已知可知△BCD为等腰直角三角形，故有∠BDC=∠EBC=∠FDC=45°，可证∠FDB=90°，证明BD⊥DF；
（2）四边形DECF是正方形．由BC²=DE•DB及BC=DC，得DC²=DE•DB，转化为比例式，利用公共角∠CDE=∠BDC，证明△CDE∽△BDC，则有∠DEC=∠DCB=90°，判断四边形DECF是矩形，结合条件CE=CF，可证四边形DECF是正方形．

解答：（1）证明：∵∠BCD=∠ECF=90°，∴∠BCE=∠DCF，
∵BC=DC，EC=CF，∴△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵BC=DC，∠BCD=90°，∴∠DBC=∠BDC=45°，
∴∠FDC=45°，∴∠FDB=90°，
∴BD⊥DF；
（2）解：四边形DECF是正方形．
∵BC²=DE•DB，BC=DC，∴DC²=DE•DB，∴

DC

DB

=

DE

DC

，
∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC=∠DCB=90°，
∵∠FDE=∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形，
∵CE=CF，∴四边形DECF是正方形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定．关键是利用已知条件证明等腰直角三角形，全等三角形，判断垂直关系，利用条件证明相似三角形，判断直角，矩形及正方形．