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(2013•丹东一模)已知:在Rt△ABC,∠ABC=90°,∠C=60°,现将一个足够大的直角三角板的顶点P放在斜边AC上.
(1)设三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N.
①当点P是AC的中点时,分别作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形;
②在①的条件下,写出与△PEM相似的三角形,并直接写出PN与PM的数量关系.
(2)移动点P,使AP=2CP,将三角板绕点P旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边AB、BC于点M、N(PM不与边AB垂直,PN不与边BC垂直);或者三角板的两直角边分别交边AB、BC的延长线与点M、N.
③请在备用图中画出图形,判断PM与PN的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论;
④在③的条件下,当△PCN是等腰三角形时,若BC=3cm,则线段BN的长是
1cm或5cm
1cm或5cm

分析:(1)①求出∠AEP=∠B=∠PFC=90°,∠APE=∠C=60°,根据AAS推出两三角形全等即可.
②求出AB=
3
BC,求出PE=
1
2
BC,PF=
1
2
AB,推出
PE
PF
=
BC
AB
=
1
3
,求出∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF,∠PEM=∠PFN=90°,根据相似三角形的判定推出△PFN∽△PEM,推出
PM
PN
=
PE
PF
=
1
3
,即可得出答案.
(2)③过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,求出△AEP∽∠PFC,推出
AP
PC
=
PE
PF
=2,设CF=x,则PE=2x,求出PF=
3
x,证△PEM∽△PFN,推出
PM
PN
=
PE
PF
=
2
3
3
即可.
④求出CP=2cm,分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,得出△PCN是等边三角形,求出CN=CP=2cm,代入BN=BC-CN求出即可;第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,求出CN=PC=2cm,代入BN=BC+CN求出即可.
解答:(1)解:①△AEP≌△PFC,
理由是:∵P为AC中点,
∴AP=PC,
∵PE⊥AB,PF⊥BC,∠B=90°,
∴∠AEP=∠B=∠PFC=90°,
∴PF∥AB,PE∥BC,
∴∠APE=∠C=60°,
在△AEP和△PFC中
∠APE=∠C
∠AEP=∠PFC
AP=PC

∴△AEP≌△PFC(AAS).

②△PFN∽△PEM,PN=
3
PM,
理由是:∵在Rt△ACB中,∠ABC=90°,∠C=60°,
∴AB=
3
BC,
∵PE∥BC,PF∥AB,P为AC中点,
∴E为AB中点,F为BC中点,
∴PE=
1
2
BC,PF=
1
2
AB,
PE
PF
=
BC
AB
=
1
3

∵∠PEB=∠B=∠PFB=90°,
∴∠EPF=90°,
∵∠MPN=90°,
∴∠EPM=∠NPF=90°-∠MPF,
∵∠PEM=∠PFN=90°,
∴△PFN∽△PEM,
PM
PN
=
PE
PF
=
1
3

∴PN=
3
PM.
(2)③PM=2PN,如图,
证明:过P作PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,
∵∠AEP=∠PFC=∠B=90°,
∴PE∥BC,
∴∠APE=∠C,
∴△AEP∽∠PFC,
AP
PC
=
PE
PF
=
2PC
PC
=2,
设CF=x,则PE=2x,
在Rt△PFC中,∠C=60°,∠PFC=90°,
∴PF=
3
x,
∵在四边形BFPE中,∠BFP=∠B=∠BEP=90°,
∴∠EPF=90°,
即∠EPM+∠MPF=90°,
∵∠NPF+∠MPF=90°,
∴∠NPF=∠EPM,
∵∠MEP=∠PFN=90°,
∴△PEM∽△PFN,
PM
PN
=
PE
PF
=
2
3
=
2
3
3

∴PM=
2
3
3
PN.

④解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=60°,BC=3cm,
∴AC=2BC=6cm,
∵AP=2PC,
∴CP=2cm,
分为两种情况:第一种情况:当N在线段BC上时,如图
∵△PCN是等腰三角形,∠C=60°,CP=2cm,
∴△PCN是等边三角形,
∴CN=CP=2cm,
∴BN=BC-CN=3cm-2cm=1cm;
第二种情况:当N在线段BC的延长线上时,如图,
∵∠PCN=180°-60°=120°,
∴要△PCN是等腰三角形,只能PC=CN,
即CN=PC=2cm,
∴BN=BC+CN=3cm+2cm=5cm,
即BN的长是1cm或5cm,
故答案为:1cm或5cm.
点评:本题考查了等边三角形性质和判定,等腰三角形性质和判定,三角形中位线,相似三角形的性质和判定的应用,题目综合性比较强,有一定的难度.用了分类讨论思想.
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