Question

3．如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为$\frac{27}{4}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由E点坐标代入可求得k的值；
（2）由P点坐标可表示出P到x轴的距离，则可表示出S与x之间的函数关系式，由P在第二象限可求得x的取值范围；
（3）由三角形OPA的面积=OA•|y_P|=9，可求得P点纵坐标，即可求得P点的位置．

解答 解：
（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，∴k=$\frac{3}{4}$；
（2）∵k=$\frac{3}{4}$，
∴直线的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x+6，
∵点P（x，y）是第二象限内的直线y=$\frac{3}{4}$x+6上的一个动点，
∴y=$\frac{3}{4}$x+6＞0，-8＜x＜0．
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∴S=$\frac{1}{2}$OA•|y_P|=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18．
∴三角形OPA的面积S与x的函数关系式为S=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；
（3）∵三角形OPA的面积=OA•|y_P|=$\frac{27}{4}$，P（x，y），
∴$\frac{1}{2}$×6×|y|=$\frac{27}{4}$，解得|y|=$\frac{9}{4}$，
∴y=±$\frac{9}{4}$，
当y=$\frac{9}{4}$时，$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$x+6，解得x=-5，故P（-5，$\frac{9}{4}$）；
当y=-$\frac{9}{4}$时，-$\frac{9}{4}$=$\frac{3}{4}$x+6，解得x=-11，故P（-11，-$\frac{9}{4}$）；
综上可知，当点P的坐标为P（-5，$\frac{9}{4}$）或P（-11，-$\frac{9}{4}$）时，三角形OPA的面积为$\frac{27}{4}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识．在（1）中注意利用函数图象点的点的坐标满足函数解析式可得到关于k的方程，在（2）中用x表示出P到x轴的距离是解题的关键，在（3）中求得P点的纵坐标是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．