Question

（2007•嘉兴）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE=BC．
（1）求证：∠E=∠DBC；
（2）判断△ACE的形状（不需要说明理由）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据AD∥BC，得到∠BCD=∠CDE，又DE=BC，所以△BCD≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等即可得证．
（2）根据全等三角形对应边相等得到BD=CE，又等腰梯形的对角线相等，所以AC=CE，所以是等腰三角形．
解答：（1）证明：
证法一：∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，（1分）
在△BCD和△EDC中，
，
∴△BCD≌△EDC（SAS）（3分）
∴∠E=∠DBC（2分）
证法二：∵DE∥BC，DE=BC，（2分）
∴四边形BCED是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴∠E=∠DBC．（2分）

（2）解：△ACE是等腰三角形．（2分）
理由为：∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，AC=BD，
又BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠BDC，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠DBC=∠EAC，
又∠DBC=∠E，
∴∠EAC=∠E，
则AC=EC，即△ACE是等腰三角形．
点评：本题主要利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定，利用全等三角形的对应角相等是证明两个角相等常用的方法之一，本题利用平行四边形的判定和性质证明更加简单．