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    问题探究：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，为探究Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线．
    （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程；
    探究应用1：如图2，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF．
    （2）线段BE与DE之间的数量关系是
     
    ；并说明理由；
    探究应用2：如图3，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE．
    （3）线段BE与DE之间的数量关系是
     
    ，并说明理由．
    考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形
    专题：
    分析：（1）如图1，作BC的垂直平分线PD交AB、BC于P、D，就可以得出PC=PB，∠PCB=∠B=30°，∠ACP=60°，得出△ACP是等边三角形，就可以得出AP=AC=PB=
    1
    2
    AB，进而得出结论；
    （2）如图2，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE；
    （3）如图3，取AB的中点F，连接EF，由等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以得出△ACD≌△AFE，就可以得出∠C=∠AFE=90°，由垂直平分线的性质就可以得出结论BE=DE．
    解答：解：（1）如图1，作CB的垂直平分线分别交AB、BC于P、D，
    ∴PC=PB，
    ∴∠PCB=∠B=30°．
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠A=60°，∠ACP=60°，
    ∴∠APC=∠A=∠ACP=60°，
    ∴△ACP是等边三角形，
    ∴AC=AP=PC．
    ∴AC=AP=PB=
    1
    2
    AB，
    即AC=
    1
    2
    AB；．
    （2）BE=DE．
    理由：如图2，∵F是AB的中点，
    ∴AF=
    1
    2
    AB．
    ∵∠C=90°，∠ABC=30°，
    ∴AC=
    1
    2
    AB，∠CAB=60°．
    ∴AC=AF．
    ∵△ADE是等边三角形，
    ∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
    ∴∠CAB=∠DAE，
    ∴∠CAB-∠3=∠DAE-∠3，
    ∴∠1=∠2．
    在△ACD和△AFE中，
    AC=AF
    ∠1=∠2
    AD=AE
    ，
    ∴△ACD≌△AFE（SAS），
    ∴∠C=∠AFE=90°，
    ∴EF⊥AB．
    ∵F是AB的中点，
    ∴EF是AB的垂直平分线，
    ∴AE=BE，
    ∴BE=DE．
    故答案为：BE=DE；
    （3）BE=DE．
    理由：如图3，取AB的中点F，连接EF，
    ∴AF=
    1
    2
    AB．
    ∵∠C=90°，∠ABC=30°，
    ∴AC=
    1
    2
    AB，∠CAB=60°．
    ∴AC=AF．
    ∵△ADE是等边三角形，
    ∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，
    ∴∠CAB=∠DAE，
    ∴∠CAB-∠2=∠DAE-∠2，
    ∴∠1=∠3．
    在△ACD和△AFE中，
    AC=AF
    ∠1=∠3
    AD=AE
    ，
    ∴△ACD≌△AFE（SAS），
    ∴∠C=∠AFE=90°，
    ∴EF⊥AB．
    ∵F是AB的中点，
    ∴EF是AB的垂直平分线，
    ∴AE=BE，
    ∴BE=DE．
    故答案为：BE=DE．
    点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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    1
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    1
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    ，偏差
     
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    时，四边形ABCD是矩形；
    （3）当EF与BC满足
     
    时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；
    （4）当EF与BC满足
     
    时，四边形ABCD是正方形．

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    k
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    x
    x+2
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    x+2
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    		3
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    ．

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