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如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.

(1)求∠ABC的度数;

(2)求证:AE是⊙O的切线;

(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.

(1)∠ABC=60°;

(2)证明见解析;

(3)π.

【解析】

试题分析:(1)∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,可得∠ABC=∠D=60°;

由AB是直径,可得∠ACB=90°,从而可得∠BAC=30°,由∠EAC=60°,可得∠EABC=90°,即AE是切线;

连接BC,由已知条件可知△BOC是等边三角形,从而可得弧AC所对圆心角的度数,利用弧长公式即可得劣弧AC的长.

试题解析:(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角,∴∠ABC=∠D=60°;

(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC=30°,

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,即BA⊥AE,

∴AE是⊙O的切线;

(3)如图,连接OC,

∴OB=OC,∠ABC=60°,

∴△OBC是等边三角形,∵OB=BC=4,∠BOC=60°,

∴∠AOC=120°,

∴劣弧AC的长为=π.

考点:1、圆周角定理;2、切线的判定;3、弧长公式.

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