【题目】如图,在ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA的延长线,DC的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF与AC满足什么数量关系时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析
【解析】
(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可;
(2)连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形,首先证明四边形AECF是平行四边形,再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)解:当AC=EF时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
由(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
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【题目】在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边,当a2+b2=c2时,△ABC是直角三角形;当a2+b2≠c2时,利用代数式a2+b2和c2的大小关系,探究△ABC的形状(按角分类).
(1)当△ABC三边分别为6、8、9时,△ABC为 三角形;当△ABC三边分别为6、8、11时,△ABC为 三角形.
(2)猜想,当a2+b2 c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2 c2时,△ABC为钝角三角形.
(3)判断当a=2,b=4时,△ABC的形状,并求出对应的c的取值范围.
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【题目】某服装店用4400元购进A,B两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润2800元(毛利润=售价﹣进价),这两种服装的进价,标价如表所示.
类型价格 | A型 | B型 |
进价(元/件) | 60 | 100 |
标价(元/件) | 100 | 160 |
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的9折出售,B种服装按标价的8折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?
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【题目】已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表:
海拔高度(单位:米) | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | … |
平均气温(单位:℃) | 22 | 21.5 | 21 | 20.5 | 20 | … |
(1)若海拔高度用x(米)表示,平均气温用y(℃)表示,试写出y与x之间的函数关系式;
(2)若某种植物适宜生长在18℃~20℃(包含18℃,也包含20℃)山区,请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区?
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【题目】已知抛物线y=3ax2+2bx+c,
(Ⅰ)若a=b=1,c=﹣1,求该抛物线与x轴公共点的坐标;
(Ⅱ)若a=b=1,且当﹣1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围;
(Ⅲ)若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1>0;x2=1时,对应的y2>0,试判断当0<x<1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.
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【题目】完成下面的证明
如图,FG//CD,∠1=∠3,∠B=50°,求∠BDE的度数.
解:∵FG//CD (已知)
∴∠2=_________(____________________________)
又∵∠1=∠3,
∴∠3=∠2(等量代换)
∴BC//__________(_____________________________)
∴∠B+________=180°(______________________________)
又∵∠B=50°
∴∠BDE=________________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴上、y轴上,CB//OA,OA=8,若点B的坐标为(a,b),且b=.
(1)直接写出点A、B、C的坐标;
(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分停止运动,求P点运动时间;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在一点Q,连接PQ,使三角形CPQ的面积与四边形OABC的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召,某社区决定购置一批共享单车.经市场调查得知,购买6辆男式单车与8辆女式单车费用相同,购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16 000元.
(1)求男式单车和女式单车的单价;
(2)该社区要求男式单车比女式单车多5辆,两种单车至少需要22辆,购置两种单车的费用不超过50 000元,该社区有几种购置方案?怎样购置才能使所需总费用最低,最低费用是多少?
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【题目】如图所示,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O,MN分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.、
(1)求证:CE是⊙O的切线;
(2)若∠D=30°,BD=4,求⊙O的半径r.
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