Question

（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当

DF

FC

=

AD

DF

时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

Answer 1

分析：（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；
（2））利用

DF

FC

=

AD

DF

得到

FD

FC

=

AD

BE

=

DG

GB

，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴

AD

BE

=

DG

BG

又∵BE=DF，

DF

FC

=

AD

DF

∴

DG

BG

=

AD

DF

=

DF

FC

∴GF∥BC （平行线分线段成比例）
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四边形BEFG是平行四边形

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键．