Question

10．抛物线y=x²+2x+m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，其中x₁＞x₂，且x₁²+x₂²=10．
（1）求实数m的值；
（2）设M（2，y₀）是抛物线y=x²+2x+m上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PM的值最小，
并求出P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由y=x²+2x+m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，则x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，代入x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10．解方程后检验△即可；
（2）求出点M的坐标，求MB的解析式与对称轴的交点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+2x+m与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，
∴x₁+x₂=-2，x₁x₂=m，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴4-2m=10
解得：m=-3
∵△=4-4×（-3）=16＞0，
∴m的值为：-3；
（2）∵M（2，y₀）是抛物线y=x²+2x-3上的一点，
∴M（2，5），
令y-0，则0=x²+2x-3，x₁＞x₂，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（1，0），B（-3，0），
抛物线y=x²+2x-3的对称轴为：x=-$\frac{2}{2×1}$=-1，
要在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PM的值最小，根据两点之间线段最短可知直线BM与直线x=-1的交点即为所求，
设直线BM的解析式为y=kx+b，过B（-3，0）M（2，5）两点，则
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{2k+b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴y=x+3
当x=-1时，y=2
∴P（-1，2）．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数上点的坐标、待定系数法以及最短路径问题，建立数学模型是解决问题的关键．