Question

如图，AC是⊙O的直径，OE⊥AB，OF⊥AD，E，F为垂足，OE=OF，AC²=AD•AB，求证：BC是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：首先由角平分线的判定定理得到AC是∠BAD的角平分线，然后结合已知条件AC²=AD•AB可以判定△ACD∽△ADC，则该相似三角形的对应角相等：∠ADC=∠ACB=90°，故BC是该圆的切线．

解答：证明：如图，∵AC是直径，
∴∠ADC=90°．
∵OE⊥AB，OF⊥AD，OE=OF，
∴∠ABC=∠CAD．
又∵AC²=AD•AB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∴△ACD∽△ADC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵AC是直径，
∴BC是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．