Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+ 经过A（1，0），B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S△ABM= S△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得： ，

解得：a= ，b=﹣2．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣2x+ ．

（2）解：存在点M，使得S△ABM= S△ABC．

理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．

∵CK⊥AB，

∴KA=BK=3，∠ACK=30°．

∴CK=3 ．

∴S△ABC= ABCK= ×6×3=9 ．

∴S△ABM= ×9 =12．

设M（a， a2﹣2a+ ）．

∴ AB|y|=12，即 ×6×（ a2﹣2a+ ）=12，

解得：a1=9，a2=﹣1．

∴点M的坐标为（9，4）或（﹣1，4）．

（3）解：①结论：AF=BE，∠APB=120°．

∵△ABC为等边三角形，

∴BC=AB，∠C=∠ABF．

∵在△BEC和△AFB中 ，

∴△BEC≌△AFB．

∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．

∴∠APB=180°﹣60°=120°．

②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．

∵∠APB=120°，

∴∠N=60°．

∴∠AMB=120°．

又∵ME⊥AB，垂足为E，

∴AE=BE=3，∠AME=60°．

∴AM=2 ．

∴点P运动的路径= = ．

当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

∵AC=6，∠CAK=60°，

∴KC=3 ．

∴点P运动的路径为3 ．

综上所述，点P运动的路径为3 或 ．

【解析】（1）将点A、B两点坐标代入函数解析式，建立方程组，即可求出抛物线的解析式。
（2）已知△ABC为等边三角形，要求此三角形的面积，添加辅助线，过点C作CK⊥x轴，求出△ABC的高CK的长，就可以求出△ABC的面积；根据S△ABM 和S△ABC的关系，求出S△ABM的值，由点M在x轴上方的抛物线上，设出点M的坐标，根据S△ABM=12，建立方程，即可求出点M的坐标。
（3）①根据已知，易证得△BEC≌△AFB．可得AF=BE，∠CBE=∠BAF．再求出∠FAB+∠ABP的度数，即可求得∠APB度数；②分两种情况：当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．根据圆内接四边形的对角互补，求出∠N的度数，根据圆周角定理，求出∠AMB的度数，然后过点E作ME⊥AB，垂足为E，就可以求出AM的长，即可求出点P的运动路径长；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长，在Rt△AKC中，易求出KC的长。
【考点精析】关于本题考查的解直角三角形，需要了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能得出正确答案．