Question

如右图，∠POQ=20°，A为OQ上的点，B为OP上的一点，且OA=1，OB=2，在OB上取点A₁，在AQ上取点A₂，设l=AA₁+A₁A₂+A₂B，求l的最小值．

Answer 1

分析：作出OQ关于OP的对称射线OM，在射线OM上找出A关于OP的对称点A′，根据对称性质可得AA₁=A′A₁，把要求的AA₁+A₁A₂转化为A′A₁+A₁A₂，然后根据“两点之间线段最短”，只有当A′，A₁，A₂在一条直线上时，满足AA₁+A₁A₂最小值等于A′A₂；找出射线OM关于OQ的对称射线，在射线ON上找出A′关于OQ的对称点A″，同理只有当A″，A₂，B在一条直线上时，满足A′A₂+A₂B最小值等于A″B，然后根据对称性质求出OA″的长及∠BOA″，以及OB，判断可得三角形OBA″为直角三角形，由OB和OA″的长，根据勾股定理求出A″B的长，即为l的最小值．

解答：解：作OQ关于OP的对称射线OM，A关于OP的对称点A′，
∴AA₁=A′A₁，
则AA₁+A₁A₂=A′A₁+A₁A₂，
根据“两点之间线段最短”，
当A′，A₁，A₂在一条直线时，AA₁+A₁A₂最小=A′A₂，
同理，作OM关于OQ的对称射线ON，A′关于OQ的对称点A″，
∴A′A₂=A″A₂，
则A₂B=A″A₂+A₂B，
根据“两点之间线段最短”，
当A″，A₂，B在一条直线上时，A′A₂+A₂B最小=A″B，
由对称可知：∠POQ=∠POM=20°，即∠MOQ=40°，
再由对称可知：∠NOQ=∠MOQ=40°，且OA=OA′=OA″=1，
在△OA″B，∠A″OB=∠POQ+∠NOQ=20°+40°=60°，
取OB的中点E，连接A″E，如图所示：
则OA″=OE=BE=

1

2

OB=1，
又∠A″OB=60°，
∴△OA″E为等边三角形，
∴∠OEA″=60°，A″E=1，即A″E=BE，
∴∠BA″E=∠B，
又∠OEA″是△A″EB的外角，
∴∠OEA″=∠BA″E+∠B=2∠B=60°，
∴∠B=30°，
∴∠OA″B=180°-60°-30°=90°，
∴△OA″B为直角三角形，
A″B=

OB2-OA″2

=

3

，
则l=AA₁+A₁A₂+A₂B的最小值为

3

．

点评：此题考查了利用轴对称求最短路线的问题，涉及的知识有对称线段的性质，轴对称的性质，线段公理等，利用了数形结合及转化的思想，此类题往往利用的是“情理结合法”，即由实情联想原理，再由原理解决问题．能正确画图和根据画图条件进行推理是解本题的关键．