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4.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E在DB的延长线上,连接EC.过点D作DM⊥EC,垂足为M,DM与AC相交于点F,连接EF.求证:
EF∥BC.

分析 证明Rt△OEC≌Rt△ODF,可得OE=OF,∠OEF=45°,则∠OBC=∠OEF,所以EF∥BC.

解答 证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC=OD,OB⊥OC,
∴∠OBC=45°,
在△DEM中,∵DM⊥EC,
∴∠DEM+∠EDM=90°,
在△DOF中,∵DO⊥OF,
∴∠DFO+∠EDM=90°,
∴∠DEM=∠DFO,
在Rt△OEC和Rt△ODF中,
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DEM=∠DFO}\\{∠EOC=∠DOF=90°}\\{OD=OC}\end{array}\right.$,
∴Rt△OEC≌Rt△ODF(AAS),
∴OE=OF,
∴∠OEF=45°,
∵∠OBC=45°,
∴∠OBC=∠OEF,
∴EF∥BC.

点评 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定、平行线的判定,熟练掌握正方形的性质和三角形的判定是关键.

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12.下列说法中,正确的是(  )
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12.某大学食堂共有7个大餐厅和3个小餐厅,经过测试,同时开放3个大餐厅和2个小餐厅,可供3160名学生就餐;同时开放2个大餐厅和3个小餐厅,可供2640名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅可分别供多少名学生就餐?
(2)若10个餐厅同时开放,能否供全校的6500名学生就餐?请说明理由.

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19.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC度数.
小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠APC=50°+60°=110°.
问题迁移:
(1)如图3,AD∥BC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由;
(2)在(1)的条件下,如果点P在A、M两点之间和B、O两点之间上运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你分别直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.

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9.宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.请用尺规作图的方法在方格纸中作出一个黄金矩形(自己确定边的长度)

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16.已知:如图,直线a∥b,直线c与直线a、b分别相交于C、D两点,直线d与直线a、b分别相交于A、B两点,点P在直线AB上运动(不与A、B两点重合).
(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,总有:∠CPD=∠PCA+∠PDB,请说明理由;
(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)?

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13.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点G,交BC的延长线于点F,连接AF、DE,下列结论:①△AEF≌△DEF②CF=AF-CD③DE∥AC④△AEG为等边三角形,其中正确结论有(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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14.如图,在平行四边形ABCD中,E、F是边CD、AB上两点,且DE=BF.求证:AE∥FC.

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