Question

在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(

x

x-1

)2-4(

x

x-1

)+4=0．
学生甲：老师，原方程可整理为

x2

(x-1)2

-

4x

x-1

+4=0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现

x

x-1

是整体出现的！
老师：很好，我们把

x

x-1

看成一个整体，用y表示，即可设

x

x-1

=y，那么原方程就变为y²-4y+4=0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）²=0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y²-4y+4=0的根是y=2，那么就有

x

x-1

=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）(

2x

x-1

)2-

4x

x-1

+1=0
（2）

6 x-y + 4 x+y =3 9 x-y - 1 x+y =1

．

Answer 1

分析：（1）设

2x

x-1

=y，方程化为关于y的方程，求出方程的解得到y的值，即为

2x

x-1

的值，求出x的值，检验即可；
（2）设

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，方程组化为关于u与v的方程组，求出方程组的解得到u与v的值，即为

1

x-y

与

1

x+y

的值，进而求出x与y的值，检验即可．

解答：（1）解：设

2x

x-1

=y，则原方程变形为：y²-2y+1=0，即（y-1）²=0，
解得：y=1，即

2x

x-1

=1，即2x=x-1，
解得：x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；

（2）解：设

1

x-y

=u，

1

x+y

=v，
则原方程组化为：

6u+4v=3 9u-v=1

，
解得：

u= 1 6 v= 1 2

，即

1 x-y = 1 6 1 x+y = 1 2

，
整理得：

x+y=2 x-y=6

，
解得：

x=4 y=-2

，
经检验，

x=4 y=-2

是原方程组的解．

点评：此题考查了利用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．