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在一次数学兴趣小组的活动课上,有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.
老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:(
x
x-1
)2-4(
x
x-1
)+4=0

学生甲:老师,原方程可整理为
x2
(x-1)2
-
4x
x-1
+4=0
,再去分母,行得通吗?
老师:很好,当然可以这样做.
再仔细观察,看看这个方程有什么特点?还可以怎样解答?
学生乙:老师,我发现
x
x-1
是整体出现的!
老师:很好,我们把
x
x-1
看成一个整体,用y表示,即可设
x
x-1
=y,那么原方程就变为y2-4y+4=0.
全体学生:噢,等号左边是一个完全平方式?!方程可以变形成(y-2)2=0
老师:大家真会观察和思考,太棒了!显然y2-4y+4=0的根是y=2,那么就有
x
x-1
=2
学生丙:对啦,再解这两个方程,可得原方程的根x=2,再验根就可以了!
老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法,这是一种重要的转化方法.
全体同学:OK,换元法真神奇!
现在,请你用换元法解下列分式方程(组):
(1)(
2x
x-1
)2-
4x
x-1
+1=0

(2)
6
x-y
+
4
x+y
=3
9
x-y
-
1
x+y
=1
分析:(1)设
2x
x-1
=y,方程化为关于y的方程,求出方程的解得到y的值,即为
2x
x-1
的值,求出x的值,检验即可;
(2)设
1
x-y
=u,
1
x+y
=v,方程组化为关于u与v的方程组,求出方程组的解得到u与v的值,即为
1
x-y
1
x+y
的值,进而求出x与y的值,检验即可.
解答:(1)解:设
2x
x-1
=y,则原方程变形为:y2-2y+1=0,即(y-1)2=0,
解得:y=1,即
2x
x-1
=1,即2x=x-1,
解得:x=-1,
经检验:x=-1是原方程的解;

(2)解:设
1
x-y
=u,
1
x+y
=v,
则原方程组化为:
6u+4v=3
9u-v=1

解得:
u=
1
6
v=
1
2
,即
1
x-y
=
1
6
1
x+y
=
1
2

整理得:
x+y=2
x-y=6

解得:
x=4
y=-2

经检验,
x=4
y=-2
是原方程组的解.
点评:此题考查了利用换元法解分式方程,用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单化,注意求出方程解后要验根.
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

在一次数学兴趣小组的活动课上,师生有下面的一段对话,请你阅读完后再解答问题.
老师:同学们,今天我们来探索如下方程的解法:(x2-x)2-(x2-x)+12=0
学生甲:老师,这个方程先去括号,再合并同类项,行吗?
老师:这样,原方程可整理为x4-2x3-7x2+8x+12=0,次数变成了4次,用现有知识无法解答.同学们再观察观察,看看这个方程有什么特点?
学生乙:老师,我发现x2-x是整体出现的,最好不要去括号!
老师:很好,我们把x2-x看成一个整体,用y表示,即x2-x=y,那么原方程就变为y2+8y+12=0.
全体学生:(同学们都特别高兴)噢,这不是我们熟悉的一元二次方程吗?!
老师:大家真会观察和思考,太棒了!显然一元二次方程y2+8y+12=0的根是y1=6,y2=2,那么就有x2-x=6或x2-x=2.
学生丙:对啦,再解这两个方程,可得原方程的根x1=3,x2=-2,x3=2,x4=-1,嗬,有这么多根啊!
老师:同学们,通常我们把这种方法叫做换元法.在这里使用它的最大妙处在于降低了原方程的次数,这是一种重要的转化方法.
全体同学:OK,换元法真神奇!
现在,请你用换元法解下列分式方程:(
x
x-1
)2-5(
x
x-1
)-6=0

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

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在一次数学兴趣小组的活动中,大家想编这样一道题:写出一个反比例函数,在x<0时,y随x的增大而减小.请你写出一个符合这些条件的函数解析式:   

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