Question

15．作图与证明：
如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
（1）作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）连接BF，CE，判断四边形BCEF的形状并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）首先连接OE，由六边形ABCDEF是正六边形，易得EF=BC，$\widehat{BF}$=$\widehat{CE}$，则可得BF=CE，证得四边形BCEF是平行四边形，然后由∠EDC=∠DEF=120°，∠DEC=30°，求得∠CEF=90°，则可证得结论．

解答 解：（1）如图1，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，
则正六边形ABCDEF即为⊙O所求；

（2）四边形BCEF是矩形．
理由：如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB=AF=DE=DC，FE=BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{DC}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CE}$，
∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵∠EOD=$\frac{360°}{6}$=60°，OE=OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE=30°，
∴∠CEF=∠DEF-∠CED=90°，
∴四边形BCEF是矩形．

点评 此题考查了正多边形与圆的知识以及平行四边形的性质与判定、矩形的判定等知识．注意根据正六边形的性质作图是关键．