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如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.
(1)若AB=AC,∠BAC=90°.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),试探讨CF与BD的数量关系和位置关系;
②当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中画出相应图形并说明理由;
(2)如图3,若AB≠AC,∠BAC≠90°,∠BCA=45°点D在线段BC上运动,试探究CF与BC位置关系.

解:(1)①∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,
∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,
∴∠CAF=∠BAD,
在△ACF和△ABD中,
∴△ACF≌△ABD(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,
∴CF⊥BD;

②如图2,∵∠CAB=∠DAF=90°,
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,
即∠CAF=∠BAD,
在△ACF和△ABD中,
∴△ACF≌△ABD(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,
∴CF⊥BD;

(2)如图3,过点A作AE⊥AC交BC于E,
∵∠BCA=45°,
∴△ACE是等腰直角三角形,
∴AC=AE,∠AED=45°,
∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,
∴∠CAF=∠EAD,
在△ACF和△AED中,
∴△ACF≌△AED(SAS),
∴∠ACF=∠AED=45°,
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,
∴CF⊥BD.
分析:(1)①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD,然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=BD,全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF⊥BD;
②先求出∠CAF=∠BAD,然后与①的思路相同求解即可;
(2)过点A作AE⊥AC交BC于E,可得△ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD,然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF⊥BD.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键,此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同.
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已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连接PC,交AD于点E.
(1)求证:AD是圆O的切线;
(2)当∠BAC=90°时,求证:
PE
CE
=
1
2

(3)如图2,当PC是圆O的切线,E为AD中点,BC=8,求AD的长.精英家教网

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我们给出如下定义:有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形.请解答下列问题:
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称;
(2)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且CD=CA,点E、F分别为BC、AD的中点,连接EF并延长交AB于点G.求证:四边形AGEC是等邻角四边形;
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(1)已知:如图1,在四边形ABCD中,BC⊥CD,∠ACD=∠ADC.求证:AB+AC>
BC2+CD2

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如图1,AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线,点D是垂足,点E是BC的中点,规定:λA=
DE
BD
.如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
(1)求证:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
(2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.

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