Question

如图，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB=

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．且点B横坐标是点B纵坐标的2倍．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点A横坐标为m，△ABO面积为S，求S与m的函数关系式，并求出自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据点B的横坐标是点B的纵坐标的2倍，且OB=

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，结合勾股定理，即可求出B点的坐标，从而求出反比例解析式；
（2）在（1）的基础上，当A点的横坐标已知的情况下，A点的纵坐标也可求出，把A、B的坐标代入一次函数解析式中，利用待定系数法，可求出解析式，从而可求出直线与坐标轴的交点．
再进一步利用求和的方法，求三角形ABO的面积时，可列出等量关系，从而得出函数解析式．

解答：解：（1）设点B的纵坐标为t，则点B的横坐标为2t．
根据题意，得（2t）²+t²=（

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）²，
∵t＜0，
∴t=-1．
∴点B的坐标为（-2，-1）．
设反比例函数为y=

k1

x

，得
k₁=（-2）×（-1）=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

．

（2）设点A的坐标为（m，

2

m

）．
根据直线AB为y=kx+b，可以把点A，B的坐标代入，
得

-2k+b=-1 mk+b= 2 m

，解得

k= 1 m b= 2-m m

．
∴直线AB为y=

1

m

x+

2-m

m

．
当y=0时，

1

m

x+

2-m

m

=0，
∴x=m-2，
∴点D坐标为（m-2，0）．
∵S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD，
∴S=

1

2

×|m-2|×|

2

m

|+

1

2

×|m-2|×1，
∵m-2＜0，

2

m

＞0，
∴S=

2-m

m

+

2-m

2

，
∴S=

4-m2

2m

．
且自变量m的取值范围是0＜m＜2．

点评：此题考查了勾股定理、待定系数法以及数形结合思想，难易程度适中．