Question

23、如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
（2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）；
（3）若四边形ABCD有两个半等角点P₁、P₂（如图（2）），证明线段P₁P₂上任一点也是它的半等角点．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．
（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）
（3）先连P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根据题意∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．∴P₁在AC上，同理，P₂也在AC上，再利用ASA证明△DP₁P₂≌△BP₁P₂而，那么△P₁DP₂和△P₁BP₂关于P₁P₂对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．

解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．
（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）

（3）连P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根据题意，
∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．（9分）
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，
∠DP₂P₁=∠BP₂P₁，∠DP₁P₂=∠BP₁P₂，P₁P₂公共，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂．（11分）
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D关于AC对称．
设P是P₁P₂上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以点P是四边形的半等角点．（14分）

点评：通过阅读理解半等角点的概念，再综合运用知识解决问题，本题属于阅读理解题，对知识与能力要求较高．
命题立意：本题考查学生理解知识和综合运用知识的能力．