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21、如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的圆O分别交两腰于D、E,求证:(1)AD=AE;(2)若D是AB中点,则△ABC是等边三角形.
分析:(1)首先连接BE、CD,即可得△ABC是等腰三角形,又由BC是⊙O直径,易证得△BDC≌△CEB,即可证得AD=AE;
(2)若D是AB中点,由CD⊥AB,DE⊥AC,可证得△BCD≌△CDA,可得BC=CA,又由AB=AC,即可得△ABC是等边三角形.
解答:证明:(1)连接BE、CD,
∵三角形ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠C,AB=AC,…(1分)
∵BC是⊙O直径,
∴∠BDC=∠CEB=Rt∠,…(2分)
∴△BDC≌△CEB,…(3分)
∴BD=CE,…(4分)
∴AD=AE;…(5分)

(2)若D是AB中点,
∵CD⊥AB,DE⊥AC,…(6分)
∴∠BCD=∠ACD,…(7分)
∴△BCD≌△CDA,…(8分)
∴BC=CA,…(9分)
而AB=AC,
∴△ABC是等边三角形.…(10分)
点评:此题考查了圆周角的性质,全等三角形的判定与性质,以及等腰三角形的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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