Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下列结论：
①△ODC是等边三角形 ②BC=2AB ③∠AOE=135° ④S△AOE=S△COE

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，
∴AC=2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠OBC=30°，∠BOE= （180°-30°）=75°，
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，故③正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，
∴S△AOE=S△COE ， 故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：C．